Ta có 2021 số tự nhiên.
Điều kiện bài toán là tổng của bất kì năm số nào trong 2021 số đó đều là một số lẻ.
Chúng ta hãy chọn ra 5 số bất kì trong tập hợp này, ví dụ {a1,a2,a3,a4,a5}.
Tổng S1=a1+a2+a3+a4+a5 là một số lẻ.
Bây giờ, hãy chọn một nhóm 5 số khác bằng cách thay thế một số trong nhóm ban đầu. Ví dụ, thay a5 bằng a6.
Tổng S2=a1+a2+a3+a4+a6 cũng là một số lẻ.
Vì cả S1 và S2 đều là số lẻ, hiệu của chúng phải là một số chẵn.
S1−S2=(a1+a2+a3+a4+a5)−(a1+a2+a3+a4+a6)=a5−a6.
Vì S1−S2 là số chẵn, nên a5−a6 cũng là số chẵn.
Hiệu của hai số là số chẵn khi và chỉ khi hai số đó có cùng tính chẵn lẻ.
Vậy, a5 và a6 phải có cùng tính chẵn lẻ.
Chúng ta có thể áp dụng logic này cho bất kì cặp số nào trong 2021 số đã cho. Nếu ta lấy hai số bất kì, chúng ta có thể tạo ra hai nhóm 5 số như trên để so sánh.
Điều này dẫn đến kết luận rằng tất cả 2021 số tự nhiên này phải có cùng tính chẵn lẻ.
Chúng ta chỉ cần kiểm tra hai trường hợp có thể xảy ra:
Trường hợp 1: Tất cả 2021 số đều là số chẵn.
Tổng của 5 số chẵn bất kì luôn là một số chẵn (chẵn + chẵn + chẵn + chẵn + chẵn = chẵn).
Điều này mâu thuẫn với điều kiện của đề bài (tổng là một số lẻ).
Vậy, trường hợp này không thể xảy ra.
Trường hợp 2: Tất cả 2021 số đều là số lẻ.
Tổng của 5 số lẻ bất kì luôn là một số lẻ (lẻ + lẻ = chẵn, vậy (lẻ + lẻ) + (lẻ + lẻ) + lẻ = chẵn + chẵn + lẻ = chẵn + lẻ = lẻ).
Điều này hoàn toàn phù hợp với điều kiện của đề bài.
Kết luận:
Để thỏa mãn yêu cầu của bài toán, tất cả 2021 số tự nhiên đó phải là các số lẻ.